提到杨振宁先生，大家往往津津乐道于他和李政道先生合作的“宇称不守恒”，一年就速通诺奖。然而对于很多物理学家乃至杨先生自己来说，他最杰出的成果却是规范场论。杨振宁先生曾在 90 岁寿辰演讲、2021 年央视《面对面》等场合反复说：“我想你要是去问内行的人，现在所有的人都会认为规范场的重要是世纪性的重要，不只是10年的重要。就是它要长期下去到21世纪、到22世纪还是重要的。”（05年《面对面》栏目的采访记录）清华大学列出的“杨振宁 13 项里程碑”更是把 1954 年“杨-米尔斯非阿贝尔规范场”列在首位，评价其“奠定标准模型骨架”。

那么，规范场论究竟是什么，为什么会在历史上有这么重要的地位？今天，就让我们走近物理学前沿，聊聊这个比肩相对论的神秘理论。

和相对论的相对性原理一样，规范场论也有自己的核心工具——对称。自从物理学进入20世纪以来，实验的结果越发复杂，传统的仅仅根据实验结果总结理论规律的方法越发不适合物理学的发展，比如，爱因斯坦的相对论和牛顿力学在现实生活中几乎找不到差别，如果像无头苍蝇一样没有理论支持地做实验，那么几百年都没办法研究出相对论。于是，科学家们先通过观察分析找到一个十分可靠的对称性，然后要求新的理论具有这种对称性，从而直接从数学上推导出它的方程，再用实验数据来验证理论是否正确。在这里，原来的实验-理论-对称性变成了对称性-理论-实验，对称性从原来理论的副产品变成了决定理论的核心。

进一步地，数学家埃米·诺特证明了诺特定理，她指出连续对称性和守恒定律一一对应，比如空间平移对称对应着动量守恒，反之也是如此。

对于电磁学，人们已经发现电磁学中电荷守恒，也就是说，电荷的总量是一个定值，它既不会凭空产生也不会凭空消失。那么，它对应的守恒律是什么呢？20 世纪 40 年代，物理学家外尔刚弄清楚：电荷守恒 ⇔ 电磁学具有整体 SO(2) 规范对称（可以任意“调相位”），这就是规范对称的起源。

什么是SO(2)？简单来说就是平面里的旋转。而对于电磁学中，如果我们约定好对某个物体进行一套符合现实的旋转动作，比如先顺时针转30度再逆时针转45度，那么，无论我们初始朝着哪个方向，旋转的结果都不变，这就叫做整体规范对称。外尔进一步产生了新的疑问，如果我们一边转动自己一边进行动作，什么情况下会有对称性呢？可以想象，这样的动作会赋予物体离心力，当然，科学家们打了个补丁，物体在相同点时我们不改变方向，这样就避免物体直接飞走了，这样的规范对称就叫做局域规范对称。

外尔发现，如果要物质满足局域规范对称，就不得不把电磁场也看做物质的一部分。在这种情况下，我们可以简单地从薛定谔方程推出麦克斯韦方程组。那么，别的相互作用呢？要知道，在当时，对于强弱相互作用还没有一个与电磁理论统一的“麦克斯韦方程组”。那么，按照外尔的方法照猫画虎无疑是很多物理学家的希望。

但当杨振宁先生实际着手于这项工作时，却发现结论并不是那么唾手可得。原因很简单，一方面，强弱相互作用中的守恒律还没全部被发现，而且强相互作用的守恒律同位旋守恒是整体SU（2）对称的。别看SU(2)与SO(2)只有一字之差，它们的差别可不小。最重要的就是SU(2)是一个非阿贝尔群。

什么是阿贝尔群，拿我们最熟悉的旋转来说，就是旋转的次序会不会影响结果。当你在平面上旋转时，先转20度再转30度和先转30度再转20度都是旋转了50度。但是当你在现实世界旋转时，先向左转90度再向右躺下和反过来可就完全不同了。（图片来自徐一鸿《可畏的对称》）

非阿贝尔群最大的影响就是薛定谔方程中会有无穷小量，在平面上旋转时，无论是先转的变成了20.1度还是最后再转0.1度都是使总体旋转了50.1度。而在后一个中可就完全不同了。这就导致解决对称到物理定律的道路上需要新的数学工具，参考外尔的证明过程，这个工具要能将无穷小量统一地处理。杨振宁将目光转回了数学，依靠他深厚的数学功底，他找到了这个工具——李代数。

对于空间旋转，我们一般作出空间直角坐标系把它写成矩阵的形式，比如

它表示的是绕x轴向正方向旋转60度。

如果我们熟悉泰勒公式，知道

我们就会发现这个矩阵对应的x是

其中π/3是60度对应的弧度值。我们把前者叫做A，把后者叫做B，那么我们会发现：

对于无穷小量而言，很多项都可以舍去，我们就把不可交换的乘法运算变成了加法运算，可以提取到最后处理，只不过旋转的角度会因此具有一个和旋转过程有关的系数来修正角度，其中的（1）式就被称作李代数。

1954年，利用李代数，杨振宁和米尔斯一起写出了划时代的论文《同位旋守恒和同位旋规范不变性》和《同位旋守恒和一个推广的规范不变性》。这两篇论文正式宣告了杨-米尔斯理论的诞生，杨振宁先生终于把局域规范对称的思想从阿贝尔群推广到了更一般的非阿贝尔群。这下，一下子让物理学家从漫无目的地猜测作用力公式中解放出来，转向对新的对称性的研究。1967-1968年，温伯格与萨拉姆基于 SU(2) L×U(1) Y规范对称性引入自发对称破缺，给出电弱作用的完整拉氏量，实现了弱作用与电磁作用的统一。1973年，格罗斯、维尔切克与波利策提出基于 SU(3) 色规范群的量子色动力学。杨-米尔斯理论成为了统一电弱强三种作用的大理论！

可以说，杨振宁因此奠定了物理学之后50年的研究方向。于是，从外尔对“相位自由”的追问，到杨振宁与米尔斯把非阿贝尔对称写进时空的纤维，规范场论完成了物理思想的一次“哥白尼式倒转”： 不再是粒子决定力，而是对称——那个凌驾于粒子之上的数学必然——生成了力。今天我们在 LHC 寻找新物理，仍在他写下的非阿贝尔规范交通法规里行车。“对称决定相互作用”——这八个字，就是现代粒子物理的源代码。这是 20 世纪留给 21 世纪的源代码，也是杨先生留在时空深处的笔迹——

一笔，引领了半个世纪的粒子物理；

一笔，仍指向尚未被照亮的远方。

（作者：李航）