在数学的星空中，有一颗格外坚韧的恒星——华人数学家李天岩。这位被誉为"小人物解决大问题"的数学奇才，以多舛之躯在混沌理论、乌拉姆猜想、同伦算法三大领域立下不朽丰碑，用生命诠释了什么是真正的学术传奇。

李天岩

01 混沌之心的萌发与剧痛前奏

1945年6月28日，李天岩生于福建福州一个知识分子家庭。三岁时随家人迁居台湾基隆，在海风与涛声中度过童年。这个日后以惊人坚韧著称的学者，在台湾清华大学就读期间展现出了多重天赋：他不仅是数学系的高材生，更是校篮球队的敏捷前锋与校足球队的坚韧后卫。这种体魄与智慧的双重锤炼，或许冥冥中为他后来与疾病的长久抗争埋下了伏笔。

1968年，他以优异成绩从台湾清华大学数学系毕业。在时代的浪潮中，他做出关键选择——远渡重洋，进入美国马里兰大学攻读博士学位，师从当时初露头角的年轻数学家詹姆斯·约克（James Yorke）教授。这个决定，不仅改变了他个人的命运轨迹，更将影响整个数学界对复杂系统的理解方式。

导师约克与李天岩

李-约克定理的诞生，源于这一段有趣的合作。1973年3月的一个星期五下午，李天岩走进他的博士导师约克的办公室，正为某些事情烦恼“诉苦”。约克突然对他说：“我给你一个好想法。”这个想法来自约克从洛伦兹论文中获得的灵感，约克兴奋地指着黑板上的草图，分享了一个关于动力系统周期行为的直观猜想。这个想法如此简洁，却又蕴含着惊人的深度。但约克自己并未证明这一数学猜想。于是，他请分析功底扎实的李天岩尝试证明或否定它。

李天岩起初以为导师要分享的是某个高深难懂的微分方程理论，便半开玩笑地问：“你这个想法够得上《美国数学月刊》的水平吗？”那本以发表易于理解的数学思想而闻名的期刊，在他心中有着特殊地位。然而，当约克逐步阐述这个关于“周期三点”如何引发系统复杂行为的想法时，李天岩敏锐的数学直觉被瞬间点燃。他立即意识到这个看似简单的命题下隐藏的深刻性：“这绝对是《月刊》的完美作品！因为它涉及的语言非常基本，却能揭示最深刻的数学真理。”

接下来的两周，成了数学创造力的浓缩爆发期。李天岩沉浸在问题的海洋中，最终运用娴熟的微积分技巧，特别是连续函数介值定理的精妙应用，完整证明了那个后来将闻名于世的定理。这便是后来名闻天下的李-约克定理的核心表述：

若实数轴一区间到其自身的连续函数f有一个周期为三的点，即存在三个互不相等的数a、b、c，使得函数 f在 a的值为 b，在b的值为c，在c的值为a，则对任意正整数n，函数f有一周期为n的点，即从该点起函数f迭代n次后又第一次返回到该点。更进一步，对“不可数”个的初始点，函数从这些点出发的“迭代点数列”之最终走向将是杂乱无章的，无规律可循。也就是说，系统将走向混沌！

帽子函数的周期三轨道

对于这个“杂乱无章、无规律可循”的深刻发现，李天岩和约克在他们文章的标题中，给其起了一个恶作剧式的名字：“乱七八糟”（Chaos）。没想到这个名字还颇得人心，随着它所表述的理论一起，不胫而走，从此名扬天下！

然而，通往真理的道路从非坦途。这篇仅九页的开创性论文最初竟被《美国数学月刊》以“研究性太强，不适合大学生读者”为由退稿。编辑们未能预见，这份看似专业的稿件将开启一个全新的科学领域。

直到一年后的1974年，当普林斯顿大学生态学家教授罗伯特·梅(Robert M. May)在关于逻辑斯蒂模型的演讲中公开表达对种群迭代模型rx(1-x)的迭代性态复杂性的困惑时，约克才猛然意识到他们工作的深远意义。论文被迅速从抽屉中取出，重新改写，在两周内完成修订，三个月后被期刊接受，最终刊登在1975年12月的《美国数学月刊》上，自此点燃了混沌科学的燎原之火。

1975年12月《美国数学月刊》封面，第三篇为李天岩和Yorke合作的《周期三意味着混沌》

美国普林斯顿高等研究院的戴森 (Freeman

Dyson) 教授曾在他的著名文章《鸟与蛙》(Birds and Frogs) 中写道：“在混沌领域里，我仅知道一条有严格证明的定理，是由李天岩和约克在发表于1975年、名为《周期三则意味着混沌》的一篇短文中证明的。李-约克论文是数学文献中不朽的珍品之一。” 这是一位杰出的数学物理学家对一篇仅仅9页长数学论文的极高评价。

随着1975年底论文的正式发表，一个全新的科学领域获得了坚实的数学基础。“混沌”从此不再只是描述性的词汇，而成为具有严格定义的数学概念。这篇论文的深远影响远远超出了纯数学领域：气象学家洛伦兹从中看到了解释蝴蝶效应的理论依据；物理学家费根鲍姆受到启发发现了通往混沌的普适常数；生物学家梅终于为自己的种群模型找到了数学解释。一个横跨多个学科的混沌革命就此拉开序幕。

根据统计，《周期三则意味着混沌》这篇备受戴森教授青睐的数学短文，可能是数学界及物理学界被引述次数最多的当代重要论文之一，已被引用了超过4500次。

就在学术突破的前夜，生命的阴影已悄然笼罩。1974年，在获得博士学位仅仅六周后，29岁的李天岩在一次例行体检中被查出血压高达220/160毫米汞柱的危险值。医生面色凝重地告诉他，这是严重的肾性高血压，他的肾脏功能已出现显著问题。摆在这位年轻数学家面前的，不仅是学术的挑战，更是生存的考验。然而，命运的吊诡在于，正是在这段健康开始亮起红灯的时期，另一项数学奇迹正在他脑海中悄然孕育。

02 连续突破与钢铁意志的锻造

在李-约克定理发表的同年，李天岩单枪匹马，攻克了由氢弹之父斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆(Stanislaw Ulam)于1960年提出的著名难题——关于保测变换下平均收敛性的猜想。这个猜想困扰了数学界整整十六年，许多知名学者尝试未果。李后来坦言：“如果我早知道这是与冯·诺依曼齐名的大人物乌拉姆提出的问题，大概吓得不敢去碰。”正是这种“不知深浅”的学术勇气，驱使他以全新的视角审视问题，最终完成了这项奠基性工作。

斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆

李天岩提供了关于非线性映射中不变测度计算的一个关键方法。他提出的逐片常数逼近法，证明了当子区间数趋向于无穷大时，该方法所得的密度函数序列确实收敛于弗洛比尼尔斯-派农算子的不变密度函数。

有趣的是，当他把成果整理成文时，才惊觉自己所构造的优美方法本质上就是乌拉姆方法，而证明的结论正是乌拉姆猜想。这个美丽的巧合让1960年诞生的乌拉姆方法声名鹊起，四十多年来，不变测度的计算已成为遍历理论和非线性分析中极为活跃的分支。这项工作展现了李天岩抓住问题本质的非凡能力——他能穿透复杂的表象，直抵数学结构的核心。

同样是在1976年，他与凯洛格(R. B. Kellogg) 、约克合作，开创了现代同伦延拓法。这项工作的灵感种子早在1973年就已埋下：当时在旁听凯洛格教授关于非线性方程组数值解的课程时，李天岩从布劳威尔(L. E. Brouwer) 不动点定理的一个经典反证法中捕捉到了灵感的火花。他敏锐地意识到：既然证明中的曲线“无处可逃”，为什么不能沿着这条曲线逆向寻找不动点呢？

在接下来的两个月里，他几乎每天都与学校计算中心那台笨重的IBM主机打交道——那是一个只能用穿孔卡片输入指令的时代。经历无数次编码错误、重新穿孔、再次提交的循环后，终于有一天，计算机没有输出长达数米的错误报告，而仅吐出一张薄薄的打印纸——上面正是成功计算出的布劳威尔不动点坐标！一个全新的数值算法由此诞生，这个后来被称为“同伦延拓法”的工具，至今仍在工程计算、经济学建模和机器人路径规划等领域发挥着不可替代的作用。

1976年5月4日，一个标志着长期抗争开始的日子。李天岩开始了长达五年半、每周三次、每次五小时的血液透析生活。医院那台笨重的透析机成了他的“第二研究室”，在血液净化的漫长过程中，他的大脑却在数学的海洋中自由航行。他后来告诉学生：“我的大部分论文是在病榻上完成的。”这种在极端困境中保持创造力的能力，令人难以置信。

更令人震撼的是，密歇根州立大学的学术委员会没有因为他的健康状况而质疑他的学术价值。相反，他们被他的毅力与持续产出的高质量成果深深折服，破例在三年内将他晋升为副教授，四年后成为正教授——这样的晋升速度甚至超过了大多数健康学者。这不仅是学术界的认可，更是对人类精神力量的致敬。

03 生命的馈赠、严师与慈父

1980年1月，李天岩首次接受肾脏移植手术，但因强烈的排斥反应而失败。这次挫折没有击垮他，反而激发了他对生命的更深理解。转机出现在1981年7月15日，他的双胞胎妹妹李梅芳毅然决定将自己的一个健康肾脏捐给哥哥。手术前夜，李梅芳对担忧的家人说：“我们是一起来到这个世界的，我的肾也应该能在他体内工作。”这次成功的移植手术，不仅是一次器官的转移，更是亲情的永恒融合，给了他近四十年的宝贵研究时间。

然而病魔从未完全退却。1984年2月，他遭遇突发性脑血管意外，右半身全部麻痹，语言功能严重受损。医生对他的恢复前景持保守态度。但令人惊叹的是，就在这病痛缠身的岁月里，他不仅通过顽强复健重新掌握了行走和书写能力，还持续发展同伦延拓理论，并培养了一批来自中国大陆的优秀博士研究生。他的学生回忆道：“李教授中风后，在黑板上写字的速度慢了很多，但他思维的清晰度和深度丝毫没有减退，反而更加凝练。”

他认为，抽象数学多半始于为解决实际问题而建立的数学模型，随后才将解题方法抽象为一般理论，以处理更普遍的问题。学习“高档次”的数学理论，必须从理解“低档次”数学出发，对原始概念的历史与来龙去脉有基本认识；否则便会如坠迷雾，只能靠背诵定义、定理和逻辑来应付考试。

李天岩坚决反对学生死记硬背、不求真懂。在他为学生设计的数学讨论班上，他始终强调一个基本要求：不要只讲“ε–δ”语言——那仅仅是逻辑，更要讲思想，讲“basic

idea”。他要求学生在证明一般定理时，先讲清楚具体或特殊的情形，反对一开始就在抽象概念里“捉迷藏”。

李天岩对数学教育有着近乎固执的信念。他坚信：“真正理解一门学问的人，一定能讲得连高中生都听得懂。”这种“深入浅出”的能力，在他看来是检验真知的金标准。在他主持的周五研讨班上，学生们最常听到的告诫是：“不要光讲逻辑，要讲思想背后的思想。”

几乎所有学生都曾因讲得不得要领而被他“挂黑板”——站在讲台上重新思考表达方式。但他“平时多流汗，战时少流血”的严苛训练哲学，让他的弟子在离开师门后大都成为了优秀的大学教授。他常教诲学生：“我并不比你们聪明，重要的是对问题多坚持一分钟。”他解释说，自己对许多问题的看法只不过是比别人多坚持思考了一分钟，而那“宝贵的一分钟”往往就是通往突破的关键隘口。

李天岩（中）1985年6月在中山大学

1985年6月，在离开中国大陆四十二年后，李天岩首次踏上了故土。在广州中山大学，他幽默的谈吐、夸张而富有表现力的肢体语言，彻底颠覆了学生们对数学家的刻板印象。当被问及自己的成就时，他笑着调侃道：“一不小心，小弟就出了大名。”这种举重若轻的态度，让深奥的数学变得亲切可及。

但在密歇根州立大学他自己的研讨班上，他展现出截然不同的另一面。一次，几位弟子在习题中犯了相似的、源于概念理解肤浅的错误。下一堂课开始，他一言不发地走向黑板，用左手（中风后他训练左手写字）缓缓写下四个苍劲的汉字：“眼高手低”。美国学生困惑地看着这些神秘的东方符号，而中国学生们则瞬间面红耳赤——这四字评语，没有点名批评任何人，却像一面镜子，照见了每个人学术态度上的不足，成为许多人整个学术生涯的终身警钟。

04 不息的战火与最后的远征

进入新世纪，李天岩面临的是更加密集的健康战役。医疗记录显示，在人生的最后二十年中，他全身麻醉的大手术已累计超过十几次，局部麻醉的小手术则不计其数。2003年后，因心脏动脉反复堵塞，他陆续接受了八次支架植入手术。当同事关心他的身体状况时，他以特有的黑色幽默回应：“我身上的支架，够开一个五金店了。”

然而，正是这位似乎时刻与病魔缠斗的学者，凭借钢铁般的意志和对数学的终极信念，克服了常人难以想象的困难，成为密歇根州立大学仅有的三位获得美国国家科学基金会几十年无间断资助的学者之一。他的办公室常备一个小行李箱，里面装着住院的基本用品，因为他随时可能因健康问题被送往医院。即便如此，他从未错过与学生的每周讨论，甚至在病房里通过电话指导博士论文。

2017年春天的一个下午，在密歇根州立大学数学系的走廊上，来自中国的交换生许世坦鼓起勇气，走向一位坐在轮椅上的老人。年轻人有些忐忑地问：“李教授，您能给我们几个交换生讲讲《周期三则意味着混沌》吗？我们读了论文，但有些地方不太理解。”

彼时李天岩已年过七旬，一年前才从又一次严重的健康危机中挣脱，日常行动完全依赖轮椅。几乎所有人都以为他会婉拒，但他抬起头，眼睛闪烁着熟悉的光芒：“当然可以，你们什么时候有空？”

几天后，在一间小教室里，他一手扶着轮椅保持平衡，一手流畅地在黑板上书写，一步步推导着定理在n=4时的特例证明。讲解持续了一个多小时，结束后，他将自己珍藏的1975年12月那期《美国数学月刊》赠予这位年轻人，在扉页上郑重签下自己的名字和日期。

“那可能是我最后一次在教室上课了。”他后来对家人轻声说道。许世坦，这位幸运的交换生，成了他最后亲授的学生，而这次轮椅上的授课，成为了知识火炬传递的感人象征。

2020年6月25日早晨，在妻子、儿子和一位守夜弟子的陪伴下，他安详地停止了呼吸，如同完成了一个漫长而优美的证明。

他留给世界的最后话语是一首自述诗：

“我没爬过最高的山，

但我攀越人生的险山峻岭。

我没游过最深的海，

但我游过人生的恶水激流。”

这两句话，概括了他七十五年的人生旅程——不是物理意义上的探险家，却是人类精神边疆最勇敢的开拓者之一。

05 遗产：问题多坚持一分钟

李天岩教授一生指导了二十六位博士研究生，这个学术家族如同二十六颗健壮的种子，在世界各地的数学土壤中生根发芽、枝繁叶茂。他们在密歇根州立大学、普渡大学、清华大学、上海交通大学等知名学府担任教职，形成了跨越三代、影响深远的学术谱系。更可贵的是，他们继承了导师的教学理念，将“讲思想而非仅仅讲逻辑”的教育哲学传递给自己的学生。

2021年，国际混沌理论与应用研讨会正式设立了李天岩纪念讲座，每年邀请该领域最具影响力的学者发表主题演讲，这一举措不仅是对他学术贡献的认可，更是对他学术精神的制度性传承。

李天岩的传奇，远不止于他在混沌理论、乌拉姆猜想和同伦算法三大领域的奠基性贡献。他代表了一种正在消逝的学术精神：在逆境中追求真理的纯粹勇气，以及不为名利、只为理解世界本身而研究的初心。他证明了“一个问题，大人物解决不了，并不表示小人物也解决不了”这一朴素真理，打破了学术权威的神秘性。

他毕生践行着“对问题多坚持一分钟”的简单哲学。在速食文化和即时满足的时代，这种专注与坚持显得尤为珍贵。他曾解释说，许多突破并非来自突然的天才灵感，而是来自在困难面前比他人多停留的那片刻思考，是那种“再想想，也许还有别的角度”的执着。